第 5 课 · 25 分钟

毛细管电泳

没有固定相，只有电场：离子按淌度在细管中赛跑。淌度和扩散系数都能由离子电导率算出，电渗流把所有东西推向检测窗，几十万块理论塔板让性质极近的离子也能分开。

本课目标

由离子电导率算出电泳淌度和扩散系数，解释为什么水合的锂离子反而最慢
说明电渗流的来源，以及它怎样把阳离子、中性分子和慢速阴离子一起带到检测窗
计算迁移时间、扩散限制的理论塔板数和分离度，并判断什么时候升高电压也无济于事

在内径 50 μm 的石英毛细管两端加上 25 kV，溶液里的离子就按各自的速度向电极跑去。几分钟内，性质极其相近的离子就能分开，理论塔板数达到几十万——这就是毛细管电泳。人类基因组计划后期的测序仪用的就是成排的毛细管；分析实验室用它测饮用水里的离子、药物的对映体和蛋白质。它没有固定相，分离全靠离子自己在电场中的淌度。

先预测

K⁺、Na⁺、Li⁺、Mg²⁺ 的混合物在正常极性下电泳（阳离子向检测窗方向迁移）。哪一种最先到达检测窗？

先选一个答案并锁定，再看模型怎么说。猜错比不猜学得更多。

Li⁺：离子最小 Mg²⁺：电荷最高 K⁺ 四种同时到达

淌度来自电导率

离子在电场 E 中的漂移速度 v = μE，比例系数 μ 就是电泳淌度。电导率测的其实是同一件事：一摩尔电荷在单位电场中运动得有多快。所以电导分析一课里的离子极限摩尔电导率 λ°（每当量）除以法拉第常数就是淌度。同一张表还给出扩散系数：能斯特–爱因斯坦关系把淌度和扩散联系起来——决定离子迁移多快的摩擦，也决定它扩散多快。

\mu_\text{ep} = \frac{\lambda^\circ}{F}, \qquad D = \frac{RT\lambda^\circ}{|z|F^2}, \qquad t_\text{m} = \frac{L_\text{d}L_\text{t}}{(\mu_\text{ep} + \mu_\text{eo})\,V}

由电导率得到淌度和扩散系数；迁移时间由表观淌度（电泳加电渗）、毛细管长度和电压决定。

$\lambda^\circ$: 离子极限摩尔电导率（每当量）
$\mu_\text{eo}$: 电渗淌度
$L_\text{d}, L_\text{t}$: 到检测窗的长度与毛细管总长
$V$: 外加电压

电渗流

石英管壁上的硅醇基在 pH 3 以上电离成 $\ce{SiO-}$ ，吸引一层阳离子紧贴管壁。通电后这层阳离子向阴极移动，拖着整管溶液一起流动——电渗流。它像活塞一样推动液体，流速在截面上几乎处处相同，不像压力驱动的液相色谱那样中间快、边上慢，所以区带不会因流型而变宽。电渗流通常比大多数离子的电泳还快，于是阳离子、中性分子和慢速阴离子都被带向阴极一端的检测窗；快速的无机阴离子则要加入阳离子表面活性剂把管壁电荷反转、再把电压反向。管壁的 ζ 电势为 −50 mV 时，电渗淌度 $\mu_\text{eo} = -\varepsilon\zeta/\eta \approx 3.9\times10^{-4}\ \text{cm}^2\,\text{V}^{-1}\,\text{s}^{-1}$ 。

淌度由离子电导率算出 · 峰宽由能斯特–爱因斯坦扩散系数算出

毛细管电泳：按淌度分离离子

电压 25 kV 毛细管总长 60 cm（检测窗在 50 cm）电渗淌度 5.0 × 10⁻⁴ cm² V⁻¹ s⁻¹ 时刻 60 s

毛细管中的离子区带

电泳图

各离子的数据
离子	μ_ep (10⁻⁴ cm² V⁻¹ s⁻¹)	μ_app	迁移时间	理论塔板数	与下一峰的分离度
$\ce{K+}$	7.62	12.62	95.1 s	672 k	30.21
$\ce{NH4+}$	7.62	12.62	95.1 s	672 k	0.03
$\ce{Ca^2+}$	6.16	11.16	107.5 s	1469 k	19.02
$\ce{Mg^2+}$	5.49	10.49	114.4 s	1549 k	7.59
$\ce{Na+}$	5.19	10.19	117.8 s	796 k	28.49
$\ce{Li+}$	4.01	9.01	133.2 s	911 k	—

拖动“时刻”，看区带在管中拉开距离、依次通过检测窗。把电压减半：迁移时间加倍，塔板数减半。把电渗流调到零：阳离子变慢但顺序不变。注意 K⁺ 与 NH₄⁺：无论怎么调，它们总是叠在一起。最后换成电渗流反向的阴离子样品。

例题精解

钠离子的迁移时间和塔板数

毛细管总长 60 cm，检测窗在 50 cm 处，电压 25 kV，电渗淌度 $5.0\times10^{-4}\ \text{cm}^2\,\text{V}^{-1}\,\text{s}^{-1}$ 。Na⁺ 的 λ° = 50.08 S cm² mol⁻¹。求迁移时间和扩散限制的塔板数。

概念检查

K⁺ 和 NH₄⁺ 的 λ° 分别是 73.48 和 73.5 S cm² mol⁻¹。怎样才能在毛细管电泳中把它们分开？

把电压提高到 30 kV 换一根更长的毛细管在缓冲液中加入能选择性结合 K⁺ 的冠醚（18-冠-6）把电渗流关掉

计算练习

同样的条件下（60 cm/50 cm，25 kV，电渗淌度 $5.0\times10^{-4}$ ），K⁺（λ° = 73.48 S cm² mol⁻¹）的迁移时间是多少秒？

要点回顾

电泳淌度 μ_ep = λ°/F，扩散系数 D = RTλ°/(|z|F²)：两者都来自同一张离子电导率表。水合层厚的离子（Li⁺）反而最慢。
带负电的石英管壁产生活塞流式的电渗流，把阳离子、中性分子和慢速阴离子一起带向阴极端的检测窗。
只受扩散限制时 N = μ_app V L_d/(2D L_t)，可达几十万块塔板；分离度 R_s = (√N/4)Δμ/μ̄，淌度几乎相同时加电压也没用。

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数据与参考文献

J. W. Jorgenson & K. D. Lukacs, “Zone electrophoresis in open-tubular glass capillaries”, Anal. Chem. 53, 1298–1302 (1981).
CRC Handbook of Chemistry and Physics, 97th ed. (2016), “Ionic conductivity and diffusion at infinite dilution”.
D. C. Harris, Quantitative Chemical Analysis, 9th ed. (2016), chapter on capillary electrophoresis.
D. A. Skoog, F. J. Holler & S. R. Crouch, Principles of Instrumental Analysis, 7th ed. (Cengage, 2018), Ch. 30.