第 5 课 · 30 分钟

校准曲线与检出限

仪器只给出信号，浓度要靠校准曲线换算。最小二乘拟合、未知样的置信区间、残差图、检出限与定量限，以及对付基体效应的标准加入法。

本课目标

用最小二乘法拟合校准直线，并给出斜率和截距的不确定度
由校准直线求未知样的浓度及其置信区间
用残差图检查线性，计算检出限（3s/m）和定量限（10s/m）
识别基体效应，并用标准加入法得到正确结果

水质报告上写着“铅：未检出”。这并不是说水里一个铅原子也没有，而是说浓度低于这个方法能可靠分辨的最低量——检出限。分光光度计、原子吸收仪、色谱仪都不直接给出浓度，它们给出的是信号；浓度要靠一组已知浓度的标准溶液建立的校准曲线来换算。这一课学习怎样拟合这条线、怎样给出未知样浓度的不确定度，以及信号小到什么程度就不能再相信了。

先预测

用 0–5 mg/L 的六个标准溶液做校准。未知样的浓度落在哪里时，由校准线读出的结果最精确？

先选一个答案并锁定，再看模型怎么说。猜错比不猜学得更多。

靠近最低的标准靠近标准浓度的平均值（线的中部）靠近最高的标准在哪里都一样

最小二乘直线

最小二乘法选择使各点竖直偏差（残差）平方和最小的直线 $y = mx + b$ 。它假设浓度 x 没有误差、全部误差都在信号 y 上，而且各点的误差大小相同。除斜率和截距外，还能得到三个不确定度：

s_y = \sqrt{\frac{\sum (y_i - m x_i - b)^2}{n-2}},\quad s_m = \frac{s_y}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2}},\quad s_b = s_y\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n\sum (x_i-\bar{x})^2}}

分母是 n − 2：两个参数（m 和 b）各用掉一个自由度。

$s_y$: 点在直线周围的标准偏差
$s_m,\ s_b$: 斜率与截距的标准偏差
$n$: 标准点的个数

x_0 = \frac{\bar{y}_0 - b}{m},\qquad s_{x_0} = \frac{s_y}{|m|}\sqrt{\frac{1}{k} + \frac{1}{n} + \frac{(\bar{y}_0 - \bar{y})^2}{m^2\sum (x_i-\bar{x})^2}}

未知样测 k 次、平均信号为 ȳ₀；置信区间为 x₀ ± t·sₓ₀，t 的自由度为 n − 2。

$1/k$: 未知样读数本身的离散：多测几次可以减小
$1/n$: 校准线整体位置的不确定度
$(\bar{y}_0 - \bar{y})^2$: 离开校准中心越远越大

例题精解

四个点的校准线

四个标准：(1, 2)、(3, 3)、(4, 4)、(6, 5)。求最小二乘直线及其不确定度；未知样测一次得 y = 3.50，求它的 x 及 95 % 置信区间。

残差、检出限与定量限

拟合之后一定要看残差图：残差应当随机地散布在零线两侧。如果呈现弧形（两头为负、中间为正，或相反），说明响应已经弯曲——例如分光光度计的杂散光让高吸光度处偏低——这时应缩小线性范围，而不是相信漂亮的 R²。

信号接近空白时，要问它能否与空白区分。多次测定空白（或极低浓度的样品），得到标准偏差 s：

检出限 LOD = 3s/m：信号超过空白 3s 时，把它误判为“有”的概率只有约 1 %；
定量限 LOQ = 10s/m：在此之上，结果的相对标准偏差约为 10 %，才适合报告具体数值。

介于两者之间的结果只能报告“检出，低于定量限”。

基体效应与标准加入法

样品中除待测物外的一切——盐、有机物、酸度、黏度——叫做基体。基体可能抑制或增强信号，使同样浓度的待测物在样品里和在纯溶剂里给出不同的斜率。外标法用纯溶剂中的标准作校准，就会系统性地偏低或偏高。标准加入法把已知量的标准直接加到样品中，校准在样品自己的基体里进行：以加入量为横坐标作图，把直线外推到信号为零，x 轴截距的绝对值 $x = b/m$ 就是未知样的浓度。

外标法与标准加入法的比较 · 外推到 x 轴截距

标准加入法：对付基体效应

基体对灵敏度的影响（样品中斜率 / 纯溶剂中斜率） · 0.65 读数噪声 σ · 0.004 显示真实浓度

外标：纯溶剂中的标准
标准加入：加到样品中

外标法结果: 2.02 mg/L
标准加入法结果（95 %）: 3.09 ± 0.43 mg/L

基体让灵敏度只剩 65 %：外标法的结果偏低约三分之一，而标准加入法的外推仍然给出正确的浓度。把基体系数调到 1.00（没有基体效应），两种方法重新一致；再把噪声调大，看外推的不确定度怎样迅速变大。

概念检查

河水样品的基体使待测物的信号只有纯溶剂中的 70 %。如果用纯溶剂中的标准做外标校准，结果会怎样？

结果正确，基体只影响精密度结果偏低约 30 % 结果偏高约 30 % 无法测定

计算练习

十次测定试剂空白，吸光度的标准偏差为 0.0021；校准线斜率为 0.1988 L/mg。检出限是多少 mg/L？

要点回顾

最小二乘直线给出 m ± sₘ 与 b ± s_b；残差应随机分布，弯曲说明超出了线性范围。
未知样的不确定度 sₓ₀ 在校准中心最小，可用多次读数（k）减小；置信区间为 x₀ ± t·sₓ₀（ν = n − 2）。
检出限 LOD = 3s/m，定量限 LOQ = 10s/m，s 为空白的标准偏差。
基体改变灵敏度时，外标法有系统误差；标准加入法在样品基体中校准，由 x 轴截距求浓度。

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数据与参考文献

D. C. Harris, Quantitative Chemical Analysis, 9th ed., W. H. Freeman (2016), chapter 4 (method of least squares, calibration curves) and chapter 5 (detection limits, standard addition).
L. A. Currie, “Nomenclature in evaluation of analytical methods including detection and quantification capabilities (IUPAC Recommendations 1995)”, Pure and Applied Chemistry 67, 1699–1723 (1995).
J. N. Miller, J. C. Miller, Statistics and Chemometrics for Analytical Chemistry, 6th ed., Pearson (2010), chapter 5.