第 2 课 · 25 分钟

置信区间与学生 t 分布

只测了四次，平均值能告诉你真值在哪？学生 t 分布给出诚实的置信区间，也告诉你为什么重复测定到一定次数后收益越来越小。

本课目标

由平均值、标准偏差和学生 t 值计算置信区间
正确解释“95 % 置信区间”的含义
解释为什么小样本要用 t 而不是 1.96
估计达到指定区间宽度需要多少次重复测定

一种药片标示含有效成分 250 mg，四次分析的平均值是 247.5 mg。药片不合格吗？答案取决于这个平均值离真值可能有多远：如果四次结果彼此相差 0.2 mg，缺口很可能是真的；如果相差 5 mg，平均值差 2.5 mg 完全可能只是运气。置信区间把“可能有多远”变成一个数：它是围绕平均值的一个范围，在给定的把握下包含真值。

先预测

100 个实验室各自测 4 次，各自算出一个 95 % 置信区间。大约有多少个区间包含真值？

先选一个答案并锁定，再看模型怎么说。猜错比不猜学得更多。

全部 100 个约 95 个约 50 个无法预言，取决于运气

学生 t 分布

如果知道真正的 σ，平均值的 95 % 区间就是 $\bar{x} \pm 1.96\,\sigma/\sqrt{n}$ 。但实验中只有样本标准偏差 s，而只测几次时 s 本身就很不可靠——有时偏小，给出的区间就太窄。1908 年，吉尼斯啤酒厂的化学家戈塞特以笔名“Student”发表了修正办法：用 t 分布代替正态分布。t 分布比正态分布“矮胖”，尾部更厚，自由度 ν = n − 1 越小越胖；n 很大时它就变回正态分布。

\mu = \bar{x} \pm \frac{t\,s}{\sqrt{n}},\qquad \nu = n - 1

95 % 置信度的双侧 t 值：ν = 1 为 12.706，ν = 4 为 2.776，ν = 9 为 2.262，ν → ∞ 为 1.960。

$\mu$: 真值（总体均值）
$t$: 学生 t 值，取决于置信水平与自由度
$s/\sqrt{n}$: 平均值的标准误差
$\nu$: 自由度：n 个结果中扣掉求平均值用掉的 1 个

区间半宽以 s 为单位（95 %，t·1/√n）：前几次重复收益最大
n	t（ν = n − 1）	半宽 / s
2	12.706	8.98
3	4.303	2.48
4	3.182	1.59
5	2.776	1.24
10	2.262	0.72
20	2.093	0.47

来源: Computed from the t distribution (checked against the t table in Harris, Quantitative Chemical Analysis, ch. 4).

从 2 次增加到 3 次，区间缩小三倍多；从 10 次增加到 20 次，只再缩小三分之一。所以常规分析一般做 3–5 次平行测定。反过来也可以规划：如果预计 s = 0.40，要把 95 % 区间的半宽压到 0.25 以内，需要解 $t\,s/\sqrt{n} \le 0.25$ ——算下来要 13 次。

每个区间 x̄ ± t·s/√n 能“套住”真值吗？

置信区间：50 次重复实验

每次实验的重复次数 n · 3

错误地用 z（正态）代替 t

t 分布（ν = 2）
标准正态分布

临界值 t: 4.303
临界值 z: 1.960

区间半宽 = 1.960 × s/√n；n = 3 时 t 比 z 大 120 %。

50 个区间中有 38 个包含真值

长期来看（4000 次实验）：82.1 %

这里故意用了 z = 1.96，而每次实验只测 3 次：数一数 50 个区间中漏掉了几个，再看下方的长期覆盖率——远低于 95 %。取消勾选，改用 t = 4.303，覆盖率回到 95 % 左右；再把 n 加大到 30，t 与 z 的差别几乎消失。

例题精解

糖蛋白中碳水化合物的含量

五次测定糖蛋白中碳水化合物的质量分数：12.6 %、11.9 %、13.0 %、12.7 %、12.5 %。求 95 % 和 90 % 置信区间。

概念检查

s 保持不变，平行测定从 4 次增加到 16 次，95 % 置信区间的半宽大约缩小为原来的几分之一？

1/2 约 1/3 1/4 1/16

计算练习

五次测定某水样中的硝酸盐，得 $\bar{x} = 10.08$ mg/L， $s = 0.15$ mg/L。95 % 置信区间的半宽是多少 mg/L？

要点回顾

置信区间 μ = x̄ ± t·s/√n，自由度 ν = n − 1；95 % 的 t 值从 12.706（ν = 1）降到 1.960（ν → ∞）。
“95 %”是方法的成功率：长期来看 95 % 的区间包含真值。
小样本必须用 t；用 1.96 会让区间太窄。
前几次重复收益最大，3–5 次平行测定是常规分析的折中。

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数据与参考文献

Student [W. S. Gosset], “The probable error of a mean”, Biometrika 6, 1–25 (1908).
D. C. Harris, Quantitative Chemical Analysis, 9th ed., W. H. Freeman (2016), chapter 4 (confidence intervals and Student’s t).
JCGM 100:2008, Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM), BIPM.