不确定度与有效数字

两位同学读同一支量筒：一位写“36 mL”，另一位写“36.4 mL”。两个数都“对”，但它们承诺的东西不同——前者说“大约在 35 到 37 之间”，后者说“在 36.2 到 36.6 之间”。一个测量值写下几位数字，本身就是在报告它的不确定度。这一课学习如何诚实地写出、读出和算出这些数字。

• 准确度：测量结果（或平均值）与真值有多接近。它受系统误差影响——每次都朝同一方向偏，例如天平未调零、仪器未校准、方法本身有偏差。
• 精密度：重复测量的结果彼此有多接近。它受随机误差（偶然误差）影响——时大时小、时正时负，例如估读最后一位时的判断、温度的微小波动。

随机误差可以通过多次测量取平均来减小，用标准偏差 $s$ 来衡量；系统误差则要靠与标准物质比较来发现。

读刻度时，把能从刻度线直接数出的数字都记下，再估读一位——大约到最小分度的十分之一。100 mL 量筒的最小分度是 1 mL，应读到 0.1 mL（如 36.4 mL）；50 mL 滴定管的最小分度是 0.1 mL，应读到 0.01 mL（如 23.62 mL）。最后一位是估计的，不同的人可能差 1～2，这就是读数不确定度。

读水溶液时看凹液面（弯月面）的最低点，视线要与它平视。对量筒，俯视会读大、仰视会读小；滴定管的刻度从上往下增大，结论正好相反。下面的放大镜里可以改变视线高度，亲眼看到视差有多大。

1. 所有非零数字都有效：$4.23$ 有 3 位。
2. 夹在非零数字之间的零有效：$4005$ 有 4 位。
3. 前导零只起定位作用，不有效：$0.00340$ 中的 $0.00$ 不算。
4. 有小数点时，末尾的零有效：$0.00340$ 有 3 位，$100.0$ 有 4 位。
5. 没有小数点时，整数末尾的零含义不明：$1200$ 可能是 2、3 或 4 位。用科学计数法写成 $1.20\times10^{3}$ 就清楚了。
6. 精确数（数出来的个数、定义值如 1 in = 2.54 cm、自 2019 年起的 $N_\mathrm{A}$）有无限多位有效数字，不限制计算结果。

• 乘除：结果的有效数字位数与各数中最少的相同。$2.5 \times 3.42 = 8.55 \to 8.6$（2 位）。
• 加减：结果保留到各数中最靠左的末位，即小数位数最少的那个。$12.11 + 18.0 = 30.11 \to 30.1$。
• 多步计算时，中间结果多保留一两位，只在最后修约，避免误差累积。

减法会“吃掉”有效数字：$1.0 - 0.98 = 0.02 \to 0.0$，两个各有 2 位有效数字的数相减，结果几乎没有可靠的数字。这就是称量时用“差减法”要选合适量程的原因。