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第 1 课 · 25 分钟

单位与数量级

SI 基本单位和词头、科学计数法，以及让单位自己约掉的因子标签法；再坐一趟“尺度电梯”，从原子核一路放大到人。

本课目标

  • 说出七个 SI 基本单位，以及常用词头代表的 10 的幂
  • 用科学计数法书写极大和极小的量
  • 用因子标签法完成多步单位换算，包括面积和体积单位的换算
  • 估计原子、分子、细胞之间相差多少个数量级

一根头发大约 70 微米粗，一个氢原子的直径约 0.1 纳米。这两个数写在一起时，很难立刻感觉出它们相差多少——而化学恰恰要在这两种尺度之间来回：我们在天平上称的是克，心里想的却是一个个原子。要跨越这么大的尺度，需要两样工具：把数量级写清楚的记数法，以及不会出错的单位换算方法。

先预测

把氢原子一个挨一个排成一行，要多少个才能横跨一根头发的粗细（约 70 µm）？

先选一个答案并锁定，再看模型怎么说。猜错比不猜学得更多。

SI：七个基本单位

国际单位制（SI）只有七个基本单位：秒（s）、米（m）、千克（kg）、安培（A）、开尔文（K）、摩尔（mol）和坎德拉（cd）。其余所有单位都由它们组合而成，例如密度的单位 kg m−3\text{kg}\,\text{m}^{-3}、能量的单位焦耳 J=kg m2 s−2\text{J} = \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-2}。

2019 年起，七个基本单位全部由精确规定的自然常数定义：光速 cc 定义了米，普朗克常数 hh 定义了千克，阿伏加德罗常数 NAN_\mathrm{A} 定义了摩尔。巴黎那块铂铱合金“国际千克原器”从此退休。注意千克是唯一一个名字里自带词头（“千”）的基本单位。

化学中最常用的 SI 词头（完整的 24 个见尺度电梯的内核）
词头符号10 的幂例子
吉G10910^{9}1 GHz（核磁共振波谱仪）
兆M10610^{6}1 MPa（高压釜）
千k10310^{3}1 kJ/mol（反应热）
厘c10−210^{-2}1 cm（比色皿光程）
毫m10−310^{-3}1 mL、1 mmol
微µ10−610^{-6}7.5 µm（红细胞）
纳n10−910^{-9}550 nm（绿光）
皮p10−1210^{-12}154 pm（C–C 键长）
飞f10−1510^{-15}1.7 fm（质子）
来源: BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th ed., 2019; 27th CGPM (2022) for ronna/quetta/ronto/quecto.

科学计数法：把数量级写在明处

科学计数法把任何数写成 a×10na \times 10^{n}，其中 1≤a<101 \le a < 10。指数 nn 一眼就告诉你数量级：1.54×10−10 m1.54\times10^{-10}\ \text{m}（C–C 键长）和 7.5×10−6 m7.5\times10^{-6}\ \text{m}（红细胞）的指数相差 4，尾数之比再贡献约 5 倍，所以两者相差约 5×1045\times10^{4} 倍。它还有第二个好处：尾数 $a$ 写几位，就表示测到了几位有效数字——1.20×1031.20\times10^{3} 和 1.2×1031.2\times10^{3} 不是同一个测量结果（下一课细讲）。

乘除时，尾数相乘除、指数相加减：(3.0×108)×(2.0×10−9)=6.0×10−1(3.0\times10^{8})\times(2.0\times10^{-9}) = 6.0\times10^{-1}。

因子标签法：乘以“1”

因为 1 km=1000 m1\ \text{km} = 1000\ \text{m}，所以分数 1000 m1 km\dfrac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}} 的值恰好是 1。乘以 1 不改变量的大小，却能改变它的单位。因子标签法就是把这样的“1”一个个乘上去，把分子分母里相同的单位像数一样约掉，直到只剩下想要的单位。选哪一种朝向（1000 m1 km\tfrac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}} 还是 1 km1000 m\tfrac{1\ \text{km}}{1000\ \text{m}}），由“要约掉谁”决定。

下面的实验台里，每张卡片都是一个“1”，你可以任选方向相乘。被划掉的单位就是已经约掉的。换算到最后单位不对，答案一定不对——这正是这种方法不会悄悄出错的原因。

new value=old value×new unitold unite.g.26.2 mi×1.609344 km1 mi=42.2 km\text{new value} = \text{old value} \times \frac{\text{new unit}}{\text{old unit}} \qquad \text{e.g.}\quad 26.2\ \text{mi} \times \frac{1.609344\ \text{km}}{1\ \text{mi}} = 42.2\ \text{km}
换算因子的分子与分母相等，所以它等于 1。
new unitold unit\tfrac{\text{new unit}}{\text{old unit}}
换算因子：一个等于 1 的分数，旧单位放在分母里以便约掉
1.6093441.609344
1 英里 = 1.609 344 千米，是精确定义，不限制有效数字
量纲分析 · 让单位自己约掉

因子标签法：单位换算链

高速公路限速 65 mi/h。换算成 m/s。

65 mi h
65 mi/h

从下面的卡片中选一个因子开始。

当前结果: 65 mi/h · 按有效数字修约 (2): 65

可用的换算因子（每张卡片两边相等，可以任选方向相乘）

1 mi = 1.609344 km 精确定义
1 km = 1000 m 精确定义
1 h = 60 min 精确定义
1 min = 60 s 精确定义
1 m = 100 cm 精确定义
精确定义（如 1 in = 2.54 cm）不限制有效数字；只有测量值（这里的起始数据和密度）才限制。
每一步的数值与单位都由单位内核实时相乘计算，被划掉的单位是整条链中指数最终为零的单位；换算因子均为 SI 或国际协议中的精确定义，只有密度是测量值。
先试第 2 题：把 mi/h 换成 m/s 需要四张卡片。再试第 5 题：长度因子要乘三次才能把 cm³ 约干净。

例题精解

体积单位的换算

一个烧杯装有 250 cm³ 水。用立方米（m³）表示这个体积。

概念检查

下列哪一个是 SI 基本单位？

计算练习

一根头发粗约 70 µm。它是多少纳米（nm）？

nm

要点回顾

  • SI 有七个基本单位，自 2019 年起都由精确的自然常数定义；千克是唯一带词头的基本单位。
  • 科学计数法 a×10na\times10^{n} 把数量级放在指数里，尾数的位数表示有效数字。
  • 因子标签法把等于 1 的换算因子逐个相乘，让单位约掉；面积和体积要把长度因子平方或立方。
  • 氢原子（约 10−1010^{-10} m）与头发（约 10−410^{-4} m）相差约六个数量级。
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数据与参考文献

  1. BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th ed. (2019), and resolutions of the 27th CGPM (2022).
  2. E. Tiesinga et al., “CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018”, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).
  3. 国家市场监督管理总局，关于新增国际单位制词头中文名称的公告（2023）。
  4. B. Alberts et al., Molecular Biology of the Cell, 6th ed. (Garland, 2014) — typical sizes of cells and viruses.
  5. CRC Handbook of Chemistry and Physics, 97th ed. — bond lengths and molecular dimensions.