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第 2 课 · 25 分钟

配平化学方程式

原子守恒是配平的唯一依据：先用观察法，再把配平写成一组线性方程，看计算机怎样精确地解出最简整数系数。

本课目标

  • 用质量守恒（原子守恒）解释为什么方程式必须配平
  • 区分系数和下标：配平只能改系数
  • 用观察法配平常见方程式，并用原子计数检验
  • 把配平写成线性方程组，用代数法解决难以观察的方程式

1770 年代，拉瓦锡把锡放在密封的曲颈甑里加热。锡变成了灰白色的“锡灰”，重量增加了，可整个密封容器的总质量一点没变——增加的质量来自容器里的空气。他由此总结出质量守恒定律：化学反应中，参加反应的各物质的质量总和等于生成的各物质的质量总和。今天我们知道原因：反应只是原子重新组合，原子本身既不产生也不消失。化学方程式必须让每一种原子在两边一样多，这就是“配平”。

先预测

丙烷燃烧：CX3HX8+?OX2→3 COX2+4 HX2O\ce{C3H8} + \ce{?O2} \mathrel{\ce{->}} \ce{3CO2} + \ce{4H2O}。问号处应填几？

先选一个答案并锁定，再看模型怎么说。猜错比不猜学得更多。

系数与下标

在 2 HX2O\ce{2H2O} 中，下标 2 属于化学式，表示“每个水分子有两个氢原子”；前面的系数 2 表示“两个水分子”。配平只能改系数，绝不能改下标：把 HX2O\ce{H2O} 改成 HX2OX2\ce{H2O2} 虽然能让氧“平”，但那已经是过氧化氢，另一种物质了。

系数也是粒子个数之比，因此也是物质的量之比：2 HX2+OX2→2 HX2O\ce{2H2} + \ce{O2} \mathrel{\ce{->}} \ce{2H2O} 读作“2 个氢分子与 1 个氧分子生成 2 个水分子”，也读作“2 mol 氢气与 1 mol 氧气生成 2 mol 水”。系数一般取最简整数。

例题精解

观察法：铁生锈（生成氧化铁）

配平 Fe+OX2→FeX2OX3\ce{Fe} + \ce{O2} \mathrel{\ce{->}} \ce{Fe2O3}。

代数法：每种元素一个方程

有些方程式（尤其是氧化还原反应）很难“看”出来。这时给每个系数一个字母，每种元素写一个守恒方程。对 a Cu+b HNOX3→c Cu(NOX3)X2+d NO+e HX2Oa\,\ce{Cu} + b\,\ce{HNO3} \to c\,\ce{Cu(NO3)2} + d\,\ce{NO} + e\,\ce{H2O}：

  • Cu：a=ca = c
  • H：b=2eb = 2e
  • N：b=2c+db = 2c + d
  • O：3b=6c+d+e3b = 6c + d + e

四个方程、五个未知数——系数只能确定到“比例”，所以令其中一个为某个值再求解。离子方程式还要多加一个电荷守恒方程。配平台的内核正是这样做的：把方程组写成整数矩阵，用精确分数（不用会产生舍入误差的小数）求出它的“零空间”，再化成最简正整数。如果解不唯一或只有零解，说明这个方程式本身有问题。

∑reactantsνj aij=∑productsνj aijfor every element i∑reactantsνjzj=∑productsνjzj\sum_{\text{reactants}} \nu_j\,a_{ij} = \sum_{\text{products}} \nu_j\,a_{ij} \quad \text{for every element } i \qquad \sum_{\text{reactants}} \nu_j z_j = \sum_{\text{products}} \nu_j z_j
原子守恒（每种元素一个方程）和电荷守恒。
νj\nu_j
物质 j 的化学计量数（系数）
aija_{ij}
物质 j 的一个化学式单位中元素 i 的原子数
zjz_j
物质 j 的电荷（中性分子为 0）
原子守恒 · 系数 · 粒子图

配平实验台

Cu\ce{Cu}
HNOX3\ce{HNO3}
Cu(NOX3)X2\ce{Cu(NO3)2}
NO\ce{NO}
HX2O\ce{H2O}

还没配平：H、N、O 两边不相等。

每种原子的个数：左边 vs 右边

  • Cu 1 : 1
  • H 1 : 2
  • N 1 : 3
  • O 3 : 8

反应物 生成物

一次“反应事件”的粒子图（按当前系数）
→CuNOOOCuNNOOOOOONOO

代数法：每种元素一个方程（a, b, c … 是系数）

  • Cu: a = c
  • H: b = 2e
  • N: b = 2c + d
  • O: 3b = 6c + d + e

内核用精确有理数求零空间得到： a = 3, b = 8, c = 3, d = 2, e = 4

原子计数、配平判断和“最简配平”全部由内核计算：把每种元素（和电荷）写成一行方程，用 BigInt 精确分数求系数矩阵的零空间，再化成最小正整数。粒子图中的分子形状只是示意，原子颜色为 CPK 惯例色，大小按共价半径缩放。
先自己配铜与稀硝酸（答案是 3, 8, 3, 2, 4），再试高锰酸钾与盐酸。也可以在输入框里写任意方程式，比如 H2 + O2 -> H2O + H2O2，看内核为什么说它“配平不唯一”。

概念检查

下列哪个方程式是配平的？

计算练习

用最简整数配平乙烷燃烧：CX2HX6+OX2→COX2+HX2O\ce{C2H6} + \ce{O2} \mathrel{\ce{->}} \ce{CO2} + \ce{H2O}。OX2\ce{O2} 的系数是多少？

要点回顾

  • 化学反应中原子只重新组合，不产生也不消失，所以方程式两边每种原子一样多（离子方程式还要电荷相等）。
  • 配平只改系数，不改下标；系数是粒子个数比，也是物质的量之比。
  • 观察法：从最复杂的化学式和只出现一次的元素入手，用最小公倍数，最后检查并化成最简整数。
  • 代数法：每种元素一个守恒方程，解出的系数比唯一时即为答案；不唯一或只有零解说明方程式本身有问题。
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数据与参考文献

  1. A.-L. Lavoisier, Traité élémentaire de chimie (Paris, 1789).
  2. S. S. Zumdahl, S. A. Zumdahl, Chemistry, 10th ed. (Cengage, 2018), Ch. 3.
  3. R. Blakley, “Chemical equation balancing: a general method which is quick, simple, and has unexpected applications”, J. Chem. Educ. 59, 728 (1982) — the matrix (nullspace) method.