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第 2 课 · 30 分钟

放射性衰变

α、β⁻、β⁺、电子俘获和 γ：五种方式让原子核走向稳定。配平衰变方程，数一数铀-238 变成铅-206 要经过几步，再看单个原子核的“骰子”怎样叠加成指数定律。

本课目标

  • 写出 α、β⁻、β⁺、电子俘获和 γ 衰变的方程，并检查质量数与电荷数守恒
  • 由原子质量算出衰变能 Q，判断衰变在能量上是否可能
  • 数出一条衰变链中 α 和 β 衰变的次数，并解释长期平衡
  • 区分单个原子核的随机性与大量原子核服从的指数定律

1896 年，贝可勒尔把铀盐放在一张用黑纸包好的照相底片上，锁进抽屉。几天后底片冲洗出来，显出了铀盐的轮廓。没有光，也没有化学反应——是铀的原子核自己在变化，并放出了看不见的射线。今天我们知道，1 g 铀-238 中每秒约有 12 000 个原子核衰变；而哪一个原子核下一秒会衰变，没有任何办法预言。

先预测

取 400 个半衰期为 1 小时的原子核，1 小时后还剩多少个？

先选一个答案并锁定，再看模型怎么说。猜错比不猜学得更多。

五种衰变方式

原子核改变时，质量数 A 和电荷数 Z 都守恒：方程两边上标之和相等，下标之和也相等。电子写作 X−10X2−120e\ce{^{0}_{-1}e}，正电子写作 X+10X2+120e\ce{^{0}_{+1}e}，α 粒子就是氦核 X24X2224He\ce{^{4}_{2}He}。

  • α 衰变：放出 X24X2224He\ce{^4_2He}，A 减 4、Z 减 2。X92238X2922238U→X90234X2902234Th+X24X2224He\ce{^{238}_{92}U} \mathrel{\ce{->}} \ce{^{234}_{90}Th} + \ce{^{4}_{2}He} 放出 4.27 MeV，α 粒子带走其中 4.20 MeV。
  • β⁻ 衰变：核内一个中子变成质子，放出电子和反中微子，A 不变、Z 加 1：X614X26214C→X714X27214N+X−10X2−120e+νˉXe\ce{^{14}_{6}C} \mathrel{\ce{->}} \ce{^{14}_{7}N} + \ce{^{0}_{-1}e} + \ce{\bar{\nu}_e}。
  • β⁺ 衰变：一个质子变成中子，放出正电子和中微子，Z 减 1：X918X29218F→X818X28218O+X+10X2+120e+νXe\ce{^{18}_{9}F} \mathrel{\ce{->}} \ce{^{18}_{8}O} + \ce{^{0}_{+1}e} + \ce{\nu_e}，这就是 PET 显像的原理。
  • 电子俘获：核吸收一个内层电子，同样让 Z 减 1：X1940X219240K+X−10X2−120e→X1840X218240Ar+νXe\ce{^{40}_{19}K} + \ce{^{0}_{-1}e} \mathrel{\ce{->}} \ce{^{40}_{18}Ar} + \ce{\nu_e}。
  • γ 衰变：处于激发态的核放出高能光子，A、Z 都不变：X4399mX243299mTc→X4399X243299Tc+γ\ce{^{99m}_{43}Tc} \mathrel{\ce{->}} \ce{^{99}_{43}Tc} + \ce{\gamma}，放出 142.7 keV，几乎全部以约 140 keV 的 γ 射线形式出现。
Qα=[MP−MD−M(X4X224He)]c2,Qβ−=[MP−MD]c2,Qβ+=[MP−MD−2me]c2Q_\alpha = \left[M_\mathrm{P} - M_\mathrm{D} - M(\ce{^4He})\right]c^2,\quad Q_{\beta^-} = \left[M_\mathrm{P} - M_\mathrm{D}\right]c^2,\quad Q_{\beta^+} = \left[M_\mathrm{P} - M_\mathrm{D} - 2m_\mathrm{e}\right]c^2
用中性原子质量计算；电子俘获的 Q 与 β⁻ 的写法相同（Δ 母 − Δ 子）。Q > 0 衰变才可能发生。
MP, MDM_\mathrm{P},\ M_\mathrm{D}
母体与子体的原子质量
QQ
衰变释放的总能量，由产物分享
2mec22m_\mathrm{e}c^2
β⁺ 衰变必须多付的两个电子静能，1.022 MeV
质量数与电荷数守恒 · Q 值由 AME2020 原子质量计算

衰变方程工作台

X1940X219240K→X2040X220240Ca+X−10X2−120e+νˉXe\ce{^{40}_{19}K -> ^{40}_{20}Ca + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e}

守恒检查
质量数 A40 = 40 + 0
电荷数 Z19 = 20 + (-1)

释放能量 Q = 1.311 MeV Q > 0：能量上允许

实测分支比 89.28 %

Q 由电子（或正电子）与中微子分享：β 射线的能谱是连续的，最大值约为 Q。

半衰期 (⁴⁰K): 12.5 亿年

18202224N16182022Z
在核素图上的一步
方程由 A、Z 守恒自动配平；Q 值用原子（中性）质量计算：α 为 Δ(母) − Δ(子) − Δ(⁴He)，β⁻ 与电子俘获为 Δ(母) − Δ(子)，β⁺ 再减 2mₑc²；忽略电子结合能。α 动能按动量守恒在 α 粒子与反冲核之间分配。“实际发生”的分支比取自 NUBASE2020。小方格图的着色同核素图（主要衰变方式）。
钾-40 很特别：β⁻ 衰变与电子俘获都会发生。两种方式各试一次，比较 Q 值；再试试 β⁺ 为什么几乎不发生。然后换成碳-14，看看 α 衰变和 β⁺ 衰变的 Q 为什么是负的。

衰变链与长期平衡

²³⁸U 的子体 ²³⁴Th 本身也有放射性，它的子体还是……一共要经过 14 次衰变，才到达稳定的 ²⁰⁶Pb。数一数：质量数从 238 降到 206，少了 32，只有 α 衰变改变 A，所以是 32/4 = 8 次 α 衰变；8 次 α 让 Z 降 16，但实际只从 92 降到 82，少了 10，所以还要 6 次 β⁻ 衰变把 Z 升回 6。

矿石里的铀已经存在了几十亿年。链上每一个成员被上一环“生产”的速率等于它自己“消耗”的速率，于是整条链的活度都相等——这叫长期平衡。半衰期越短的成员，存量越少。

Ai=λiNi,λ1N1=λ2N2=⋯=λnNn(secular equilibrium)A_i = \lambda_i N_i,\qquad \lambda_1 N_1 = \lambda_2 N_2 = \cdots = \lambda_n N_n \quad(\text{secular equilibrium})
当母体的半衰期远长于所有子体、且时间足够长时成立。
AiA_i
第 i 个成员的活度（每秒衰变次数，Bq）
λi\lambda_i
衰变常数，λ=ln⁡2/t1/2\lambda = \ln 2 / t_{1/2}
NiN_i
该成员的原子数
²³⁸U → ²⁰⁶Pb 共 14 次衰变 · NUBASE2020 半衰期

铀系衰变链：贝特曼方程求解器

1 分1 时1 天1 年千年百万年十亿年时间（对数刻度）10⁻⁹10⁻⁸10⁻⁷10⁻⁶10⁻⁵10⁻⁴0.0010.010.11活度 / 起始母体活度

2 / 13 个子体的活度与母体此刻的活度相差不到 1 %

²⁰⁶Pb/²³⁸U 原子数比: 8.81 × 10⁻⁵

点一行可在图中突出该核素。

此刻各成员的活度（相对于起始母体活度）
核素半衰期相对活度
44.6 亿年
1
24.1 天
1
69.5 秒
1
24.6 万年
0.941
7.54 万年
0.915
1600 年
0.914
3.82 天
0.914
3.1 分钟
0.914
27.1 分钟
0.914
19.9 分钟
0.914
163 微秒
0.914
22.2 年
0.914
5.01 天
0.914
138 天
0.914
每条曲线都由线性方程组 dN/dt = M·N 的精确解给出：程序用泰勒级数加反复平方求矩阵指数 exp(Mt)，并单独保存对角元 exp(−λt) − 1，因此从 ²¹⁴Po 的 164 微秒到 ²³⁸U 的 45 亿年都不丢精度（教科书的贝特曼求和在这里会因相消而失效）。只沿主衰变路径计算：三个小于 0.2 % 的旁支几小时内就回到主路径。时间从“纯的起始核素”开始算。
从刚提纯的铀-238 出发拖动时间：短寿命的 ²³⁴Th 和 ²³⁴ᵐPa 几个月就追上母体，²³⁴U 要几十万年，镭和它后面的成员要等 ²³⁰Th 长起来。大约两百万年后，所有子体的活度都与母体相差不到 1 %。再换成“一瓶氡-222”，看看它的子体几个小时之内就达到平衡。

例题精解

钍-232 到铅-208 要几次衰变？

钍系从 X90232X2902232Th\ce{^{232}_{90}Th} 开始，终止于 X82208X2822208Pb\ce{^{208}_{82}Pb}。其中有几次 α 衰变、几次 β⁻ 衰变？

概念检查

²²²Rn 发生 α 衰变，生成什么？

计算练习

古老的铀矿中铀-238 与镭-226 处于长期平衡。每 1000 kg ²³⁸U 中含有多少克 ²²⁶Ra？（t½ 分别为 4.463 × 10⁹ 年与 1600 年；摩尔质量 238.05 与 226.03 g/mol）

g

要点回顾

  • 核反应中质量数 A 与电荷数 Z 守恒；α 衰变使 A − 4、Z − 2，β⁻ 使 Z + 1，β⁺ 与电子俘获使 Z − 1，γ 衰变不改变 A 和 Z。
  • 由原子质量算出的 Q > 0 时衰变才可能；β⁺ 还要多付 1.022 MeV。
  • ²³⁸U 经 8 次 α 和 6 次 β⁻ 衰变到达 ²⁰⁶Pb；古老矿石中整条链处于长期平衡，各成员活度相等。
  • 单个核何时衰变无法预言，大量核却精确服从指数定律，涨落约为 √N。
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数据与参考文献

  1. F. G. Kondev et al., “The NUBASE2020 evaluation of nuclear physics properties”, Chinese Physics C 45, 030001 (2021) — half-lives, decay modes and branching ratios.
  2. M. Wang et al., “The AME 2020 atomic mass evaluation (II)”, Chinese Physics C 45, 030003 (2021) — atomic masses for Q-values.
  3. K. S. Krane, Introductory Nuclear Physics, Wiley (1988), chapters 6–10 (decay laws, α, β and γ decay).
  4. G. Friedlander, J. W. Kennedy, E. S. Macias, J. M. Miller, Nuclear and Radiochemistry, 3rd ed., Wiley (1981), chapter 6 (radioactive growth and decay, secular equilibrium).