第 3 课 · 25 分钟

半衰期与放射性测年

放射性衰变是最可靠的时钟：碳-14 测几万年，钾–氩与铀–铅测几十亿年。由同位素比值算出年龄，并了解校准与封闭体系这些隐藏的前提。

本课目标

用一级衰变定律计算剩余量、活度与经过的时间
解释放射性碳定年的原理、常规年龄的约定和校准的必要
由 ⁴⁰Ar/⁴⁰K 或 ²⁰⁶Pb/²³⁸U 比值算出岩石年龄，并说明所需的前提
为不同年龄的样品选择合适的测年方法

西澳大利亚杰克山的砂岩里藏着一些比沙粒还小的锆石晶体。它们里面的铅几乎全部来自铀的衰变，用铀–铅法测得的年龄是 44 亿年——地球上已知最古老的矿物，只比地球本身年轻约 1.4 亿年。能测出这样的年龄，靠的是一条你在化学动力学里见过的定律：一级反应的半衰期与起始量无关。放射性衰变是一级反应的完美例子，它不受温度、压力和化学环境的影响，因此是自然界最可靠的时钟。

先预测

一块木炭中 ¹⁴C 与 ¹²C 之比只剩活着的树木的 1/8。它大约有多老？

先选一个答案并锁定，再看模型怎么说。猜错比不猜学得更多。

约 2100 年约 5700 年约 17 000 年约 46 000 年

衰变定律与活度

N = N_0\,e^{-\lambda t} = N_0\left(\tfrac12\right)^{t/t_{1/2}},\qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda},\qquad A = \lambda N

活度 A 与剩余原子数 N 成正比，所以活度也按同样的指数规律下降。

$N_0,\ N$: 起始与 t 时刻的原子数
$\lambda$: 衰变常数（s⁻¹ 或 a⁻¹）
$t_{1/2}$: 半衰期
$A$: 活度：每秒衰变次数，单位贝可（Bq）；1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq

这与积分速率方程一课中的一级反应完全相同，只是“浓度”换成了原子数。活度把半衰期与样品量联系起来：1 g 镭-226 含 2.66 × 10²¹ 个原子，半衰期 1600 年，活度为 3.66 × 10¹⁰ Bq——约 1 居里，这正是居里单位最初的定义来源。半衰期越短，同样多的原子活度越高。

放射性碳定年

宇宙射线在高层大气中产生中子，中子把氮变成碳-14： $\ce{^{1}_{0}n} + \ce{^{14}_{7}N} \mathrel{\ce{->}} \ce{^{14}_{6}C} + \ce{^{1}_{1}H}$ 。¹⁴C 氧化成 CO₂，经光合作用进入所有生物。活着的生物不断与大气交换碳，每克碳约有 0.226 Bq 的 ¹⁴C 活度；生物死后交换停止，¹⁴C 以 5700 年的半衰期衰减。测出样品的“现代碳比例” $F^{14}\mathrm{C}$ （样品 ¹⁴C/¹²C 与 1950 年大气之比），就能算出年龄。浓度的倒计时讲过这个时钟的基本原理；真正的考古测年还要多考虑三件事：

约定：常规放射性碳年龄统一用利比半衰期 5568 年（比最佳值 5700 年短 2.3 %），并以公元 1950 年为“现在”，写作“年 BP”。
校准：大气 ¹⁴C 含量随宇宙射线强度、地磁场和碳循环起伏，常规年龄必须用 IntCal20 校准曲线（由树轮、珊瑚、洞穴沉积等定年）换算成日历年龄，结果可差几百年。
污染与极限：化石燃料燃烧稀释了大气 ¹⁴C，1960 年代的核试验又让北半球大气 ¹⁴C 几乎翻倍；而约 5 万年的样品只剩约 0.2 % 的 ¹⁴C，极少的现代碳污染就会严重歪曲结果。

t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\frac{N_0}{N},\qquad t_{^{14}\mathrm{C}} = -8033\ \mathrm{a}\times\ln F^{14}\mathrm{C}

8033 年是利比半衰期对应的平均寿命 5568/ln 2，常规放射性碳年龄就是这样算的。

$N_0/N$: 起始与现在的母体原子数之比
$F^{14}\mathrm{C}$: 现代碳比例：现在的 ¹⁴C/¹²C 与 1950 年大气之比

测定岩石的年龄

岩石太老，¹⁴C 早已衰变殆尽，要用半衰期长达十亿年的核素，并测量子体与母体之比：

钾–氩法：⁴⁰K 的半衰期约 12.5 亿年，只有 10.5 % 的衰变经电子俘获生成 ⁴⁰Ar，其余生成 ⁴⁰Ca。熔岩中的氩会逸出，所以火山岩冷却时“时钟归零”，此后积累的 ⁴⁰Ar* 全部来自衰变。
铀–铅法：锆石（ZrSiO₄）结晶时吸收铀、排斥铅，所以晶体里的铅几乎都是衰变产物。²³⁸U → ²⁰⁶Pb 和 ²³⁵U → ²⁰⁷Pb 两个时钟互相核对；两者一致（“谐和”）说明晶体没有丢失过铅。帕特森 1956 年用陨石中铅的同位素比值得到地球年龄 45.5 亿年，今天的最佳值是 45.4 ± 0.5 亿年。

t = \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_\mathrm{e}}\,\frac{^{40}\mathrm{Ar}^*}{^{40}\mathrm{K}}\right),\qquad t = \frac{1}{\lambda_{238}}\ln\!\left(1 + \frac{^{206}\mathrm{Pb}^*}{^{238}\mathrm{U}}\right)

星号表示放射成因（由衰变产生）的子体；λ = 5.543 × 10⁻¹⁰ a⁻¹，λe = 0.581 × 10⁻¹⁰ a⁻¹，λ₂₃₈ = 1.551 25 × 10⁻¹⁰ a⁻¹。

$\lambda$: ⁴⁰K 的总衰变常数
$\lambda_\mathrm{e}$: 生成 ⁴⁰Ar 的分支（电子俘获）的衰变常数
$\lambda_{238}$: ²³⁸U 的衰变常数

由测得的同位素比值算年龄

放射性测年计算器

放射成因 ²⁰⁶Pb* 与 ²³⁸U 的原子数比 · 0.980 比值的相对标准不确定度 · 1.0 %

封闭体系中比值随时间的变化

年龄: 44 亿年 ± 3200 万年

相当于 0.99 个半衰期

若样品未丢失铅，²⁰⁷Pb*/²⁰⁶Pb* 应为 0.5587

锆石结晶时吸收铀却排斥铅，所以其中的铅几乎全是衰变产物。²³⁵U→²⁰⁷Pb 这第二个“时钟”给出独立的年龄；两者一致（“谐和”）说明样品没有丢失过铅。

²⁰⁶Pb/²³⁸U = 0.98 正是杰克山锆石的比值——读出年龄，再看“若未丢失铅，²⁰⁷Pb/²⁰⁶Pb* 应为多少”，那就是第二个时钟的预测。换成钾–氩法，比较同样 1 % 的比值误差给出的年龄误差。

例题精解

一块玄武岩的钾–氩年龄

一块玄武岩中放射成因 ⁴⁰Ar* 与 ⁴⁰K 的原子数比为 0.0100。求它的年龄。

概念检查

要测定一根约 4 万年前的木制矛杆，应该用哪种方法？

碳-14 钾–氩铀–铅都不行

计算练习

一座古墓出土的木料 $F^{14}\mathrm{C} = 0.62$ 。它的常规放射性碳年龄是多少年 BP？

要点回顾

N = N₀(1/2)^{t/t½}，活度 A = λN；衰变不受温度和化学环境影响，是可靠的时钟。
常规放射性碳年龄用利比半衰期 5568 年，以 1950 年为“现在”，还需用 IntCal20 校准成日历年龄；上限约 5 万年。
岩石用子体/母体比测年：钾–氩法 t = (1/λ)ln(1 + (λ/λe)Ar/K)，铀–铅法 t = ln(1 + Pb/U)/λ₂₃₈。
测年方法的半衰期要与样品年龄相当，并且样品必须是封闭体系。

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数据与参考文献

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