第 1 课 · 30 分钟

核稳定性与结合能

三千多个已知核素里只有 253 个稳定。核素图上的稳定带、幻数和结合能曲线告诉你原因——以及为什么铁和镍位于曲线的顶端。

本课目标

在核素图上找到稳定带，说明中子/质子比为何随质量增大而升高
用奇偶规律和幻数解释哪些核素特别稳定
由原子质量计算质量亏损、结合能和每核子结合能
用液滴模型的五项解释结合能曲线的形状，以及它为何在铁、镍附近达到顶点

把一个氦-4 原子放上最精密的质量天平：4.002 603 u。再把组成它的零件——2 个氢原子（各含 1 个质子和 1 个电子）和 2 个中子——分别称一称，加起来是 4.032 980 u。整体比零件轻了 0.030 377 u，约 0.75 %。这消失的质量并没有凭空丢失：它按 $E = mc^2$ 化作 28.3 MeV 的能量，在原子核形成时释放了出去，也正是把核拆开所需的能量——结合能。每个核子约 7 MeV，比一根化学键（几个 eV）大约一百万倍。

先预测

轻的稳定核（如 ¹²C、¹⁶O、⁴⁰Ca）中子数与质子数相等。越重的稳定核，中子数与质子数之比 N/Z 会怎样？

先选一个答案并锁定，再看模型怎么说。猜错比不猜学得更多。

始终保持 1 逐渐升高，到铅约为 1.5 逐渐降低到 1 以下毫无规律

稳定带

NUBASE2020 评价收录了 3557 个已知核素的基态，其中只有 253 个从未被观测到衰变。它们在核素图上组成一条狭窄的带，两侧的核素都会衰变，而且衰变方向总是把核推回带内：

带的下方（中子过多）：β⁻ 衰变，一个中子变成质子，N 减 1、Z 加 1；
带的上方（质子过多）：β⁺ 衰变或电子俘获，一个质子变成中子；
很重的核（Z > 82）：α 衰变，一次甩掉 2 个质子和 2 个中子，最重的核还会自发裂变。

铋以后再没有稳定元素；锝（Z = 43）和钷（Z = 61）连一个稳定同位素都没有。就连曾被当作“最重稳定核”的 ²⁰⁹Bi，也在 2003 年被测到 α 衰变，半衰期约 2 × 10¹⁹ 年——宇宙年龄的十亿倍左右。

稳定核素还偏爱偶数。253 个稳定核素中，质子和中子都是偶数的有 147 个，都是奇数的只有 4 个：²H、⁶Li、¹⁰B、¹⁴N。成对的核子能量更低，就像原子里自旋配对的电子。

当质子数或中子数恰好等于 2、8、20、28、50、82、126 这些“幻数”时，核子填满一个壳层，核特别稳定：锡（Z = 50）有 10 个稳定同位素，是所有元素中最多的；⁴He、¹⁶O、⁴⁰Ca 和 ²⁰⁸Pb 是质子数与中子数都为幻数的“双幻”核。在核素图上打开幻数线，看看稳定核素在这些线上怎样聚集。

结合能

B = \left[Z\,m(\ce{^1H}) + N\,m_\mathrm{n} - m(\ce{^{A}X})\right]c^2,\qquad 1\ \mathrm{u}\cdot c^2 = 931.494\ \mathrm{MeV}

用中性原子的质量：Z 个氢原子正好带来 Z 个电子，与原子 X 的电子数相同。

$B$: 结合能：把核拆成自由核子所需的能量
$Z,\ N$: 质子数与中子数，A = Z + N
$m(\ce{^1H}),\ m_\mathrm{n}$: 氢原子质量 1.007 825 u，中子质量 1.008 665 u
$B/A$: 每核子结合能：衡量核有多“紧”

AME2020 实测值 · 半经验质量公式

结合能曲线

稳定核素（AME2020）
半经验质量公式（沿稳定谷）

点选图中任意一点可换一个核素。

⁵⁶Fe Z = 26, N = 30

实测 B/A: 8.790 MeV
公式 B/A: 8.760 MeV
公式 − 实测: −0.031 MeV

项	MeV	每核子
体积项	882.0	15.750
− 表面项	−260.5	−4.653
− 库仑项	−125.6	−2.243
− 不对称项	−6.8	−0.121
± 对能项	1.5	0.027
合计 B	490.6	8.760

每个圆点是一个稳定核素。先点 ⁴He、¹²C、¹⁶O：它们高出左侧的曲线——特别紧的轻核。再比较 ⁵⁶Fe 与 ⁶²Ni：谁站得更高？最后切到“液滴模型的各项”，看表面项和库仑项分别从哪一端把曲线往下拉。

结合能曲线先陡升，在 A ≈ 60 附近到达约 8.8 MeV 的顶点，然后缓慢下降，到铀只剩 7.6 MeV。这条曲线决定了核能从哪里来：把轻核聚合成较重的核（往右爬坡）会放能，把重核分裂成中等质量的核（从右端往回爬坡）也会放能。两者都朝着曲线顶端的铁、镍走去。

曲线的形状可以用“液滴模型”（半经验质量公式）解释：核子像液滴中的分子，只与近邻相吸。

B = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_A\frac{(A-2Z)^2}{A} \pm \frac{a_P}{A^{1/2}}

Rohlf (1994) 的系数：aV = 15.75、aS = 17.8、aC = 0.711、aA = 23.7、aP = 11.18 MeV；对能项偶–偶核取 +，奇–奇核取 −，奇 A 核为 0。

$a_V A$: 体积项：每个核子都被近邻吸引
$a_S A^{2/3}$: 表面项：表面核子少了邻居，轻核中比例最大
$a_C Z^2/A^{1/3}$: 库仑项：质子互相排斥，重核中最大
$a_A (A-2Z)^2/A$: 不对称项：N 与 Z 相差越多越不稳
$a_P/A^{1/2}$: 对能项：核子成对更稳定

表面项把曲线的左端压低，库仑项把右端压低，顶点只能出现在中间。公式给出 ⁵⁶Fe 的 B/A 为 8.76 MeV（实测 8.790 MeV）、²³⁸U 为 7.58 MeV（实测 7.570 MeV），对 A ≥ 40 的核相当准确；对 ⁴He 却只给出 5.49 MeV，远低于实测的 7.074 MeV——这种“特别紧”的轻核需要壳模型来解释。

例题精解

铁-56 的每核子结合能

⁵⁶Fe 原子的质量为 55.934 936 u。已知 $m(\ce{^1H}) = 1.007\,825$ u、 $m_\mathrm{n} = 1.008\,665$ u，求它的每核子结合能。

概念检查

下面哪一个核变化需要吸收能量，而不是放出能量？

²H 与 ³H 聚合成 ⁴He 和一个中子 ²³⁵U 俘获中子后分裂成 ¹⁴¹Ba、⁹²Kr 和 3 个中子把一个 ⁵⁶Fe 核劈成两个 ²⁸Al 核四个 ¹H 在太阳中最终聚合成一个 ⁴He

计算练习

由 $m(\ce{^4He}) = 4.002\,603$ u、 $m(\ce{^1H}) = 1.007\,825$ u、 $m_\mathrm{n} = 1.008\,665$ u，求 ⁴He 核的结合能（MeV）。

要点回顾

3557 个已知核素中只有 253 个稳定；它们组成稳定带，N/Z 从轻核的 1 升到铅的约 1.5。
带下方的核 β⁻ 衰变，上方的核 β⁺ 衰变或电子俘获，最重的核 α 衰变——都朝带内走。
偶–偶核与幻数核（2、8、20、28、50、82、126）特别稳定。
结合能 B = Δm·c²；每核子结合能在 ⁶²Ni 达到最大 8.795 MeV，所以轻核聚变和重核裂变都能放能。

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数据与参考文献

F. G. Kondev, M. Wang, W. J. Huang, S. Naimi, G. Audi, “The NUBASE2020 evaluation of nuclear physics properties”, Chinese Physics C 45, 030001 (2021).
M. Wang, W. J. Huang, F. G. Kondev, G. Audi, S. Naimi, “The AME 2020 atomic mass evaluation (II)”, Chinese Physics C 45, 030003 (2021).
J. W. Rohlf, Modern Physics from α to Z⁰, Wiley (1994), §11.3 (semi-empirical mass formula coefficients).
K. S. Krane, Introductory Nuclear Physics, Wiley (1988), chapters 3 and 5.
P. de Marcillac et al., “Experimental detection of α-particles from the radioactive decay of natural bismuth”, Nature 422, 876–878 (2003).